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II Aerodynamik - oder warum fliegt etwas ?

2.1 Gase und der Druck - die Grundlagen für die Aerodynamik

Die Luft besteht aus kleinen Teilchen - sogenannte Moleküle. Diese Moleküle bewegen sich sehr rasch und prallen auch hin und wieder aneinander.


Wenn in einer Hälfte eines Behälters mehr Moleküle sind, als in der anderen Hälfte, dann stellt sich nach kurzer Zeit ein Gleichgewicht ein. Das heißt, die Moleküle wandern von der Hälfte mit dem Überschuß in den ganzen Raum. Die Moleküle sind damit im ganzen Behälter gleichmäßig verteilt - das funktioniert aber nur dann, wenn sehr viele Moleküle beteiligt sind. Nehmen wir an es gibt N Moleküle in einem würfelförmige Behälter. Jedes Molekül hat die Masse m - es wird angenommen, daß das Gas nur aus identen Molekülen besteht. Die Moleküle haben nicht alle die gleiche Geschwindigkeit - manche prallen öfters an die Wand oder an andere Moleküle während andere kaum mit anderen zusammenstoßen. Dies ist ein zufälliger Prozeß. Die Moleküle, die an die Wand stoßen, prallen wieder ab und bewegen sich in eine andere Richtung weiter. Die Geschwindigkeit der einzelnen Moleküle wird dabei nicht verlangsamt. Es ist wie beim Billiardspiel, wenn harte Kugeln aneinander prallen (inelastischer Stoß). Infolge der unaufhörlichen Bewegung der Moleküle hat jede Wand andauernd Stöße aufzufangen.

Betrachten wir einen kleinen Würfel gefüllte mit einem Gas in einem größeren gasgefüllten Behälter. Wenn in dem kleineren Behälter mehr Moleküle sind, dann gibt es mehr Zusammenstöße mit der Wand - von innen her. Es herrscht ein Ungleichgewicht, da außerhalb des kleinen Würfels weniger Gasmoleküle sind, die mit der Wand kollidieren können. Würde die Wand des kleinen Würfels aus Gummi bestehen, dann würde sich der Gummi soweit aufdehnen, bis ein Gleichgewicht herrscht, das heißt bis die Anzahl der Stöße vom Inneren gleich groß sind wie die Anzahl der Stöße von außen.

Diese kollidierenden Moleküle üben eine Kraft auf die Wand aus. Das Verhältnis dieser Kraft zur Fläche wird als Druck bezeichnet. Je mehr Moleküle mit einer Wand zusammenstoßen, umso größer ist der Druck. Wenn die Wand aber sehr groß wird und die Anzahl der Moleküle gleichbleibt, dann wird der Druck kleiner, da es weniger Zusammenstöße pro Flächeneinheit gibt.

Die Formel für den Druck p lautet, wobei F die Kraft und A die Fläche ist, auf die der Druck wirkt:


Die Kraft hängt von vielen Parametern ab. Es ist der auf die Wand übertragene Impuls Dp der Moleküle pro Zeiteinheit dt.

Vor dem Stoß fliegen Teilchen mit der Masse m und der Geschwindigkeit v auf die Wand, ihr Impuls p beträgt mv. Wenn sie von der Wand abprallen, bewegen sie sich in die entgegengesetzt Richtung. Der Betrag der Geschwindigkeit v (es handelt sich um einen elastischen Stoß) bleibt aber gleich und auch die Masse der Moleküle hat sich nicht verändert (warum auch). Somit ist ihr Impuls nach dem Abprall -mv. Also beträgt die Impulsänderung nach dem Stoß 2 m v.

Der Anschaulichkeit halber betrachten wir diskrete Zeitschritte, eigentlich sind sie infinitesimal.
Es stellt sich die Frage, wieviele Moleküle mit der Wand zusammenstoßen können ? Da wir uns nur für die Moleküle interessieren, die in einer Zeiteinheit Dt mit der Wand zusammenstoßen, müssen die Moleküle v Dt von der Wand entfernt sein (schwarze Pfeile). Wenn sie weiter entfernt sind (graue strichlierte Pfeile), werden sie es erst im nächsten Zeitschritt schaffen, an die Wand zu prallen. Im Volumen V des Würfels befinden sich N Moleküle. Also sind in einem Einheitsvolumen N/V Moleküle. Von diesen bewegen sich im Würfel nur 1/6 der Moleküle in die richtige Richtung auf die Fläche A zu, die anderen stoßen nicht mit der Wand in diesem Zeitschritt zusammen (graue Pfeile).

 

Der gesamte Impulsübertrag pro Zeiteinheit beträgt somit:

Damit ergibt sich für den Druck:

Wie man leicht erkennen kann, hat sich die Fläche weggekürzt.

Wie kann man das interpretieren. Kommen wir wieder zu unserem kleinen gasgefüllten Würfel in einem größeren gasgefüllten Würfel. Wenn sich die Gase im Gleichgewicht befinden, und die Stöße von innen gleichstark sind, wie von außen, was ist dann mit dem Druck ? Die Moleküle prallen immer noch an die Wand, also gibt es immer noch einen Druck, auch wenn er keine Veränderung des Würfels herbeiführt. Wenn wir einfach die Wand wegnehmen, werden immer noch genausoviel Moleküle mit der selben Geschwindigkeit sich durch den Raum bewegen, beziehungsweise immer noch genausoviele Teilchen Stöße (allerdings jetzt mit anderen Teilchen und nicht mehr mit der Wand) aufweisen. Der einzige Unterschied besteht darin, daß die Moleküle ihre Richtung nicht wegen der Wand ändern.

Man kann den Druck entweder als Kraft pro Fläche auffassen, oder als einen Strom von N Molekülen in einem Volumen V mit einer Geschwindigkeit v. Da sich die Moleküle in einem Volumen in alle Richtungen gleichverteilt bewegen (isotrop), das heißt in alle Richtungen statistisch gleich verteilt, kann ein eigentlicher Strom nicht wirklich beobachtet werden. Wenn man die Geschwindigkeit v in die einzelnen Komponenten in x-, y- und z-Richtung aufspaltet, erhält man zwar drei verschiedene Ströme, beziehungsweise Drücke, aber da so viele Moleküle beteiligt sind, kann der Unterschied zwischen den drei Richtungen nicht beobachtet werden.

Damit sind wir bei einer interessanten Frage. Was passiert wenn ein paar Moleküle in eine bestimmte Richtung bewegt werden. Damit gibt es eine bevorzugte Richtung. Welchen Einfluß hat dies, auf das übrige Gas ? Damit sind wir bei der Aerodynamik - der Lehre bewegter Gase.

 

2.2 Bewegte Gase und der Druckunterschied
Im vorigen Kapitel wurden nur ruhende Gase betrachtet. Jetzt werden wir uns den bewegten Gasen widmen - die Lehre der Aerodynamik. Eine der Grundbegriffe ist das Stromlinienbild. Wenn man eine Flüssigkeit (Hydrodynamik - die Lehre von bewegten Flüssigkeiten) oder ein Gas bewegt und kleine Teilchen als Indikator beimengt, kann man sich den genauen Verlauf der Strömung ansehen. Bei Flüssigkeiten verwendet man gerne Tusche und bei Gasen wird entweder flüssiger Stickstoff oder feines Pulver dem Luftstrom beigemengt. Die Stromlinien zeigen die Bahnen und damit die Richtung der bewegten Teilchen an.

Um diese Stromlinienbilder im Fall der Aerodynamik zu bekommen verwendet man einen Windkanal. Die Luft wird möglichst gleichmäßig beschleunigt und im Testraum können von verschiedene Objekten die Stromlinienbilder bestimmt, oder direkt die auftretenden Kräfte vermessen werden.

In den rechten Graphiken verändern sich die Stromlinien mit der Zeit praktisch nicht. Die Flüssigkeit (oder auch das Gas) bewegt sich zwar, aber das Bild der Stromlinien verändert sich nicht. Man spricht von einer stationären Strömung. Alle Vorgänge der Physik werden stationär genannt, wenn die physikalischen Größen (Strömungsgeschwindigkeit oder Druck) zwar vom Ort, aber nicht von der Zeit abhängen. Im Gegensatz dazu ändert sich das Stromlinienbild bei turbulenten Strömungen. Es bilden sich Strudel, die sich von der Oberfläche der zu untersuchenden Objekte ablösen und wandern. Dadurch entstehen sehr viele Wege, die die Gasteilchen nehmen. Bei stationären Strömungen bewegen sich die Gase sehr langsam und die einzelnen Schichten der Gase vermischen sich praktisch nicht. Wenn aber die Reibung zwischen den bewegten Gasteilchen zu groß wird, dann krümmen sich die Stromlinien in unvorhersagbarer Weise - es entstehen Strudeln.

Für die künftigen Betrachtungen ist es wichtig, die Drücke in bewegten Gasen näher zu beschreiben.

 

 

Zum einen gibt es den statischen Druck (Kapitel 2.1). Der statische Druck wird durch die Temperatur, bzw. durch die innere Energie verursacht. Jedes Teilchen hat eine bestimmte Geschwindigkeit und unterschiedliche Bewegungsrichtung - unabhängig von äußeren Prozessen. Auch in bewegten Gasen gibt es den statischen Druck, nur wird er vom Staudruck überlagert. In einem Luftstrom bewegen sich vermehrt Teilchen in eine Richtung - deshalb haben wir einen Luftstrom. Dies führt zu einer Erhöhung des Druckes in die Bewegungsrichtung. Unser Würfel aus dem vorherigen Kapitel wird deformiert und mehr Teilchen treffen die Stirnwand, während weniger Teilchen die Mantelwand treffen. Die Drücke sind nun gerichtet. Der Staudruck entsteht aufgrund der Geschwindigkeit der Gasteilchen. Da sich, statistisch gesehen, nicht alle Teilchen in die selbe Richtung bewegen - auch der Luftstrom hat eine Temperatur - verursacht diese ungeordnete Bewegung ebenso einen Druck: den statischen Druck.

Beide Drücke, der statische und der Staudruck, zusammen ergeben den Gesamtdruck. Da in einem System keine Energie verloren geht oder erzeugt werden kann, muß auch der Gesamtdruck konstant bleiben.

In einem ruhendem Gasvolumen haben wir nur den statischen Druck. Bewegt sich die Luft, dann steigt der Staudruck und der statische Druck nimmt ab.

Aus einem Stromlinienbild kann man die Geschwindigkeit der bewegten Teilchen leicht ablesen (zumindest relativ). An den Engpässen liegen die Stromlinien näher bei einander. Je enger die Stromlinien liegen, umso schneller bewegt sich das Gas. Wenn sich ein Volumen in einem Rohr bewegt, und dieses Volumen auf einen Engpaß trifft, müssen sich die Teilchen des Gases schneller bewegen.


Da Flüssigkeiten und im wesentlichen auch Gase nicht komprimiert werden können (zumindest in dem Geschwindigkeitsbereich, der für Papierflieger wichtig ist), müssen die Teilchen ihre Geschwindigkeit steigern, damit das ganze Volumen, wenn es wieder aus dem Engpaß herauskommt, die ursprüngliche Geschwindigkeit besitzt. Nehmen wir ein Volumen mit einem Querschnitt Q1, der sich mit einer gewissen Geschwindigkeit v1 durch das Rohr bewegt. Im Engpaß verkleinert sich der Querschnitt auf Q2, aber die Geschwindigkeit steigt auf v2 an, das Volumen V muß über die ganze Zeit erhalten. Es können keine Teilchen hinzukommen oder wegfallen und aufgrund der Inkompressibilität bleibt das Volumen konstant. Daraus folgt:

Die Strömungsgeschwindigkeiten stehen also im umgekehrten Verhältnis zu den Querschnittsflächen.

Während sich das Volumen im verengtem Bereich befindet, bewegt es sich schneller, als außerhalb des Engpaßes. Für diese Geschwindigkeitssteigerung wird Energie benötigt. Da in einem System nicht einfach Energie erzeugt oder vernichtet werden kann, muß diese Energie von irgend woher kommen. Die einzige Energieform, die uns zur Verfügung steht ist der statische Druck der Flüssigkeit, beziehungsweise des Gases. Und tatsächlich kann man eine Druckverminderung des statischen Druckes im Engpaß feststellen, während der Staudruck steigt. Wenn man vor, im und nach dem Engpaß in unserem oberen Experiment drei Steigrohre anbringt, kann man die Saugwirkung beobachten. Je höher die Geschwindigkeit des Gases ist, umso stärker wird die Flüssigkeit angesaugt. Im Engpaß geschieht dies umso stärker, je geringer der Durchmesser ist. Diesen Zusammenhang entdeckte als erster Daniel Bernoulli (1700-1784), der damit die Aerodynmik begründete.

Bernoullisches Gesetz: Der statische Druck einer Flüssigkeit oder eines Gases sinkt mit zunehmender Geschwindigkeit der Flüssigkeit oder des Gases.

Diese Druckreduzierung ist überraschend, da man normalerweise bei einer Verengung einen erhöhten Druck erwarten würde. Dies bezeichnet man als hydrodynamisches Paradoxon. Wenn man zwischen zwei Blättern Papier, der Abstand sollte rund 5-10 cm sein, hindurchbläst, so werden sie nicht durch den Luftstrom auseinander gedrückt, sondern sie werden angezogen (Paradoxon). Für den Luftstrom gibt es einen Engpaß, damit kommt es zu einer Erhöhung der Geschwindigkeit der Luft und letztendlich zu einer Druckminderung. Damit hat man die Saugwirkung mit einfachen Mitteln gezeigt. Diese Saugkraft ist für das Fliegen mitverantwortlich !

 

 

 

2.3 Das Phänomen Fliegen

Damit sich ein Flugzeug oder ein Hubschrauber in die Lüfte erheben kann, bedarf es einer Tragfläche. An dieser Tragfläche treten 3 verschiedene Effekte auf, die abhängig vom Tragflächenprofil in unterschiedlicher Weise auftreten können. Diese 3 Effekte führen zum Auftrieb - der Kraft die ein Objekt zum Fliegen bringt.

Betrachten wir den Querschnitt einer Tragfläche mit dem dazugehörigen Luftstrom. Unterteilen wir den Luftstrom in drei verschiedene Bereiche: den unteren, den mittleren und dem oberen Bereich.

Betrachten wir als erstes das Verhalten des Luftstroms im unteren Bereich - auf der Tragflächenunterseite. Die Flügelunterseite besitzt die Fläche A, die mit dem Winkel a zur Richtung des Luftstroms versetzt ist. Die Luftmoleküle besitzen die Geschwindigkeit v0.

 

Aufgrund elastischer Stöße werden die Luftmoleküle auf der Tragflächenunterseite reflektiert und nach unten umgelenkt. Da die Masse der Luftmoleküle im Vergleich zur Flügelmasse vernachläßigt werden kann, ändert die Impulskomponente normal zum Flügel nur ihr Vorzeichen. Die Normalkomponente ist beitragsmäßig gleich m v0 sin a, wobei m die Masse der Luftmoleküle ist. In y-Richtung ändert sich der Impuls des Flügels pro aufprallendem Teilchen um

 

und in x-Richtung um

Dieser Unterdruck führt dazu, daß die Tragfläche nach oben und der Luftstrom nach unten abgelenkt wird. Natürlich werden die Luftteilchen, die sich in der Nähe der oberen Kante befinden, stärker abgelenkt als Teilchen, die eine größere Entfernung von der Tragfläche haben.

Natürlich könnte man auch mit der Impulserhaltung argumentieren. Da ein Strom von Teilchen, der sich horizontal bewegt, nach unten abgelenkt wird, muß nach der Impulserhaltung die Tragfläche nach oben "gezogen" werden.

Betrachten wir nun den mittleren Bereich der Luftströmung. In diesem Bereich wirkt vorallem das Gesetz von Bernouilli. Der Luftstrom aus dem mittleren Bereich trifft auf den vorderen Bereich der Tragfläche auf - ein Hindernis stellt sich in den Weg.

Die Teilchen müssen den Weg über die Tragflächenoberseite nehmen. Durch das Hindernis müssen die Abstände der Stromlinien kleiner werden. Damit steigt die Geschwindigkeit der Luftteilchen, der Staudruck steigt, während der statische Druck sinkt. Im Bereich der größten Verengung entsteht ein Unterdruck (verminderter statischer Druck) und die Tragfläche wird nach oben gezogen.

Wenn wir alle Kräfte betrachten, so erhalten wir folgende Darstellung:

Eine Tragfläche stellt für den Luftstrom einen Widerstand dar. Das heißt, es gibt einen Engpaß. Die Luft, die sich über die gekrümmte Oberseite bewegt, wird beschleunigt und nach unten abgelenkt. Die Luft auf der Unterseite der Tragfläche wird nur etwas nach unten abgelenkt und etwas geringer abgebremst. Die beiden Kräfte stehen in einem Verhältnis von 2 zu 1. Alle Flieger erhalten ihren Auftrieb nach diesem Prinzip. Wesentlich am Auftrieb ist die Geschwindigkeit. Umso höher die Geschwindigkeit der Luft ist, die der Tragfläche ausgesetzt ist, umso stärker ist der Druck der auf die Tragflächenunterseite und der Unterdruck der auf der Tragflächenoberseite wirkt.

Theoretisch könnte man den Tragflügelquerschnitt stark vergrößern. Damit erhält man einen besseren Auftrieb. Aber leider führt dies auch zu einigen unangenehmen Effekten:

1) Der Luftwiderstand wird größer und das Flugzeug wird langsamer.
2) Hinter dem Tragflügel auf der Oberseite bilden sich Verwirbelungen, die den Auftrieb stören - der Flieger stürzt dann ab.

Damit sind wir bei der zweiten wichtigen Kraft, die in der Aerodynamik berücksichtigt werden muß: der Strömungswiderstand. Bisher haben wir angenommen, daß die Gase ohne Reibung bewegt werden. Tatsächlich besitzen aber alle realen Gase eine gewisse Zähigkeit. Die Bewegungsenergie wird durch Reibung zwischen den gegeneinander bewegten Gasteilchen in Wärme verwandelt.

Durch die innere Reibung in Gasen erfährt ein Körper bei kleinen Geschwindigkeiten einen zu seiner Geschwindigkeit proportionalen Strömungswiderstand. Wenn sich die Luft aber sehr rasch bewegt, kommt es zur Wirbelbildung. In diesen Wirbeln steckt sehr viel Energie. Leider ist es bis heute nicht möglich, die Wirbelentstehung physikalisch korrekt zu beschreiben. Deshalb muß man in diesem Fall auf das Experiment zurückgreifen. Die Ergebnisse der Experimente zeigen, daß der Strömungswiderstand bei höheren Geschwindigkeiten - wenn es zur Wirbelbildung kommt - von der Widerstandszahl cw, der Dichte des Mediums r, und der Schattenfläche A des Körpers ab.

Jeder Körper, der von parallelen Lichtstrahlen getroffen wird, wirft einen Schatten, der eine gewisse Ausdehnung besitzt - die Schattenfläche. Unterschiedlich geformte Körper können die idente Schattenfläche besitzen, aber leider besitzen sie unterschiedliche Luftwiderstandszahlen, die experimentell bestimmt werden müssen. Die Widerstandszahl cw gibt die Abhängigkeit des Luftwiderstandes von der Form des Körpers an. Man strömt den Körper mit Luft an, und mißt wie stark die Luft versucht den Körper zu bewegen.

Eine nach vorne geöffnete Halbkugel hat den größten Luftwiderstand. Es treten sehr viele Wirbel hinter der Kugel auf. Man kann im rechten Stromlinienbild die Wirbel (nicht-stationäre Strömung) erkennen. Eine Kreisscheibe besitzt einen ähnlich hohen Wert - viele Wirbel entstehen, die sich ablösen und wieder neu gebildet werden. Die nach hinten geöffnete Halbkugel besitzt einen geringeren Widerstandswert als die Kugel. Eigentlich würde man einen höheren Wert erwarten. Aber hinter der Halbkugel bilden sich Wirbel, die sich nur schwer ablösen. Da die Wirbel eine räumliche Ausdehnung besitzen, und sich hinter der Kugel "verstecken", tragen sie zu einem geringeren Widerstandswert bei. Für den Luftstrom erscheint die nach hinten geöffnete Halbkugel und die sich nicht ablösenden Wirbel wie ein Stromlinienkörper (oben-rechts). Bei dem eigentlichen Stromlinienkörper ist der cw-Wert am geringsten - es können sich kaum Wirbel bilden.

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